Toets van de azen-en-tienen-correctie

OpzetWat er gemeten is, en waartegen

Willekeurige spellen, dubbeldummy opgelost met endplay (DDS). Als maat voor wat de hand werkelijk waard is nemen we het aantal slagen dat NZ maakt — in SA de beste van noord of zuid als leider, in kleur het beste van de acht kleur/leider-combinaties.

Vervolgens een kleinstekwadratenregressie:

slagen ~ HCP + HCP² + langste fit + fit² + lengtepunten + kortheidspunten

Dat is het basismodel: alles wat HCP en verdeling al verklaren. De vraag is of D daar nog iets bovenop doet. De coëfficiënt van D wordt teruggerekend naar HCP-equivalenten via de marginale waarde van 1 HCP (in SA ≈ 0,514 slag).

Steekproef
Opgelost	Aantal spellen
SA (alleen sans-atout)	16.700
Kleurcontracten (volledige DD-tabel)	2.020

Uitkomst 1Hoe vaak doet de regel iets?

D per losse hand: gemiddelde 0, standaardafwijking 1,74.

D > 3 — 2,00 % van de handen
D < −3 — 1,94 % van de handen
Samen 3,9 %, ongeveer één hand op de 25

Uitkomst 2De correctie is inderdaad precies één punt waard

Coëfficiënt van de aanpassing, drie sneden
Snede	Coëfficiënt	In HCP	t
SA, alle spellen	+0,496 slag	+0,97	13,0
SA, 20–28 HCP samen	+0,499 slag	+0,96	9,4
Beste kleurcontract	+0,354 slag	+0,97	4,8

Drie onafhankelijke sneden, drie keer +0,97. De bewering klopt kwantitatief, en niet bij benadering.

Uitkomst 3De drempel van 3 is precies de goede drempel

Wat een aanpassing bij elke drempel werkelijk waard is
Drempel	% handen	Waarde van de correctie	Extra verklaarde variantie
> 1	38,8 %	+0,73 HCP	0,0102
> 2	14,6 %	+0,86 HCP	0,0060
> 3	3,9 %	+0,97 HCP	0,0022
> 4	0,7 %	+1,02 HCP	0,0005
> 5	0,1 %	+1,29 HCP	0,0001
Lineair in `D`	100 %	+0,32 HCP per eenheid	0,0140

Wie een heel punt wil toekennen, moet inderdaad bij 3 afkappen. Bij een lagere drempel is een heel punt te veel.

Maar de laatste kolom laat de prijs zien: de drempelregel vangt 0,0022 van de 0,0140 aan beschikbaar signaal — ongeveer een zesde. De rest zit in de 96 % van de handen waar de regel zwijgt. De lineaire versie — reken 0,32 punt per eenheid D, dus grofweg ⅓ punt — is als waarderingsinstrument ruim zes keer zo krachtig.

Gemiddelde onderwaardering per waarde van D van het paar · SA

−4−1,07

−3−0,97

−2−0,71

−1−0,32

0−0,12

+1+0,37

+2+0,69

+3+1,07

+4+1,25

Stippellijn = waar de regel begint te spreken Schaal: halve baan = 1,25 HCP

Kaarsrecht door de oorsprong, geen spoor van een knik bij ±3. De drempel is een administratieve keuze, geen eigenschap van het spel.

Uitkomst 4Waar het vandaan komt

Empirische kaartwaarden uit een regressie op de aantallen A/H/V/B/10, geschaald zodat de zestien honneurs samen 40 zijn:

Wat elke kaart werkelijk waard is
	Aas	Heer	Vrouw	Boer	Tien
Gemeten (SA)	4,53	2,90	1,67	0,90	0,39
Gemeten (kleur)	4,74	2,88	1,53	0,85	0,37
HCP	4,00	3,00	2,00	1,00	0,00
Afwijking (SA)	+0,53	−0,10	−0,33	−0,10	+0,39

De correctie werkt omdat ze twee onafhankelijke gebreken van 4-3-2-1 tegelijk repareert: azen zijn ondergewaardeerd en vrouwen overgewaardeerd (samen goed voor +0,30 HCP per eenheid), en tienen tellen niet mee terwijl ze 0,37 HCP waard zijn. Dat die twee effecten toevallig bijna even groot zijn, is waarom je ze in één telling mag optellen.

De boer is de zwakke schakel

Zijn afwijking (−0,10) is even klein als die van de heer (−0,10) — die niet meetelt in de formule. De boer hoort er dus eigenlijk niet in, of hooguit voor een derde:

Varianten op de statistiek
Statistiek	Extra verklaarde variantie
`(A+10) − (V+B)`	0,0140
`(A+10) − (V + B/3)`	0,0160
`(A+10) − V`	0,0157
`1,5·A + 10 − V − 0,3·(H+B)`	0,0169

KanttekeningenWat deze cijfers niet zeggen

Dubbeldummy overschat aas- en tienwaarde iets minder dan enkeldummy zou doen, maar overschat wel de waarde van lange kleuren die in de praktijk niet vrij te spelen zijn. Voor een vergelijking tussen kaarttypen is dat vrijwel neutraal.
De maat is slagen, niet score. Een punt extra rond 24–25 HCP is meer waard dan een punt bij 18.
Volledig willekeurige spellen, dus ook veel spellen die nooit geboden worden. De hersnede op 20–28 HCP geeft praktisch dezelfde uitkomsten.
De reststandaardafwijking is 2,58 HCP. Eén punt correctie is echte, systematische informatie, maar klein vergeleken met de ruis op één enkel spel — het rendement komt over veel spellen.

ReproducerenDe toets zelf draaien

pip install endplay statsmodels pandas numpy

# genereren en analyseren in één keer
python3 azen_tienen_toets.py 20000 --mode nt   --csv spellen_sa.csv
python3 azen_tienen_toets.py  2000 --mode suit --csv spellen_kleur.csv

# alleen opnieuw analyseren op een bestaande csv
python3 azen_tienen_toets.py --csv spellen_sa.csv --alleen-analyse

Ongeveer 22 spellen per seconde in nt-modus, 3,8 in suit-modus op één kern.